进制转换：从二进制、八进制、十六进制到十进制的速算
这一篇把「二进制、八进制、十进制、十六进制」之间的相互转换整理成一份速查表，每一种都配一个具体例子的手工计算步骤。
记号约定：
- 数字后缀 (B)=二进制、(O)=八进制、(D)=十进制、(H)=十六进制
- 十六进制字母 (\text{A}=10)、(\text{B}=11)、(\text{C}=12)、(\text{D}=13)、(\text{E}=14)、(\text{F}=15)
一、四个核心概念
1. 基数
进制就是「每一位上能用几个数字」。每进一位就乘一次基数 (r)：
| 进制 | 基数 (r) | 数字范围 |
|---|---|---|
| 二进制 (B) | 2 | 0, 1 |
| 八进制 (O) | 8 | 0 ~ 7 |
| 十进制 (D) | 10 | 0 ~ 9 |
| 十六进制 (H) | 16 | 0 ~ F |
2. 位权
第 (i) 位（从右往左，从 (0) 开始数）的权值是 (r^i)。例如二进制 10110（5 位）的位权依次是 (2^4, 2^3, 2^2, 2^1, 2^0)：
1 | 位号: 4 3 2 1 0 |
3. 按权展开（任意进制 → 十进制的通用公式）
[
(N)r = \sum{i=0}^{k-1} d_i \cdot r^i
[其中 (d_i) 是第 (i) 位上的数字，(r) 是基数，(k) 是位数。
4. 整数部分与小数部分分开做
进制转换对整数部分和小数部分用的是两套规则，永远分开算：
| 部分 | 规则 | 方向 |
|---|---|---|
| 整数 | 除 (r) 取余，倒序排列 | 任何进制 ↔ 十进制 |
| 小数 | 乘 (r) 取整，正序排列 | 十进制 ↔ 任何进制 |
二、整数部分转换
2.1 二进制 → 十进制：按权展开
例：(10110_{(B)} = ?)
按权展开（与上表对应）：]
10110{(B)} = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22{(D)}
[### 2.2 二进制 → 八进制：「421 法」
每 3 位一组（从右往左分），不够的左侧补 0。每组按 (4, 2, 1) 三位权重相加。
例：(10110_{(B)})
1 | 原始: 1 0 1 1 0 |
所以 (10110{(B)} = 26{(O)})。
421 法速记：每组只有 3 位，所以权重就是 (4 = 2^2)、(2 = 2^1)、(1 = 2^0)。记不住展开式就直接写 421。
2.3 二进制 → 十六进制：「8421 法」
每 4 位一组（从右往左分），不够的左侧补 0。每组按 (8, 4, 2, 1) 四位权重相加；如果和 ≥ 10，转换成 A~F。
例：(101101_{(B)})
1 | 原始: 1 0 1 1 0 1 |
所以 (101101{(B)} = 2D{(H)})。
2.4 十进制 → 二进制：短除法
除 2 取余，倒序排列。
例：(26{(D)} = ?{(B)})
1 | 商 余数 |
倒序读余数：(11010{(B)})。所以 (26{(D)} = 11010_{(B)})。
「除到 0 为止」：商变成 0 就停，最后一个 1 是被 2 除出来的，不是循环的一部分。
2.5 八进制 → 二进制：每位展 3 位
每位八进制数字对应 3 位二进制（421 法反过来），不够 3 位的左侧补 0。
例：(26{(O)} = ?{(B)})
1 | 八进制每位: 2 6 |
拼起来：(010110{(B)})。所以 (26{(O)} = 010110_{(B)})。
2.6 十六进制 → 二进制：每位展 4 位
每位十六进制数字对应 4 位二进制（8421 法反过来），不够 4 位的左侧补 0。
例：(5C2{(H)} = ?{(B)})
1 | 十六进制每位: 5 C(=12) 2 |
拼起来：(0101\,1100\,0010_{(B)})。
2.7 通用公式：十进制 ↔ 任意进制 (r)
| 方向 | 公式 |
|---|---|
| (r) 进制 → 十进制 | 按权展开：(N = \sum d_i r^i) |
| 十进制 → (r) 进制 | 除 (r) 取余，倒序 |
对于 (r = 8)、(r = 16) 来说，这套规则都成立，只是运算慢、不如「二进制中转」快。
三、小数部分转换
3.1 二进制 → 十进制：还是按权展开
只不过小数位的权值是 (r^{-i})。
例：(11.101{(B)} = ?{(D)})
[
1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3}
= 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125 = 3.625_{(D)}
]
3.2 十进制 → 二进制：乘 2 取整
整数部分仍用「除 2 取余」，小数部分用「乘 2 取整」，正向排列。
例：(0.625{(D)} = ?{(B)})
1 | 整数 小数 |
正序读整数部分：(101{(B)})。所以 (0.625{(D)} = 0.101_{(B)})。
何时停止：小数部分变成 0 就停。如果一直不变成 0（比如 (0.1_{(D)})），就只能取到你想要的精度为止。
3.3 二进制小数 ↔ 八进制、十六进制小数
按整数部分同样的「分组法」做，只是从小数点开始往两边分组：
| 转换 | 分组方向 | 起点 |
|---|---|---|
| 二进制小数 → 八进制 | 小数点起向左、向右每 3 位一组 | 小数点 |
| 二进制小数 → 十六进制 | 小数点起向左、向右每 4 位一组 | 小数点 |
例：(11.101{(B)} = ?{(O)})
1 | 11.101 |
所以 (11.101{(B)} = 3.5{(O)})。
四、八进制 ↔ 十进制
4.1 十进制 → 八进制
两种方法：
- 间接法：先转二进制，再 3 位 1 组转八进制
- 直接法：除 8 取余，倒序排列（与十进制 → 二进制一模一样，只是除数换成 8）
例：(26{(D)} = ?{(O)})
1 | 直接法： |
所以 (26{(D)} = 32{(O)})。
4.2 八进制 → 十进制
- 间接法：先转二进制，再按权展开
- 直接法：按权展开（(8^i) 为权）
五、十进制 ↔ 十六进制
与八进制完全对称，只是基数换成 16。
例：(43{(D)} = ?{(H)})
1 | 直接法： |
所以 (43{(D)} = 2B{(H)})。
反过来 (2B{(H)} = 2 \times 16 + 11 = 32 + 11 = 43{(D)})。
六、记忆口诀表
| 想做的事 | 公式 / 方法 |
|---|---|
| 任意进制 → 十进制 | 按权展开（(d_i \cdot r^i) 求和） |
| 十进制 → 任意进制（整数） | 除 (r) 取余，倒序排列 |
| 十进制 → 任意进制（小数） | 乘 (r) 取整，正序排列 |
| 二进制 ↔ 八进制 | 421 法：3 位一组 |
| 二进制 ↔ 十六进制 | 8421 法：4 位一组 |
| 八进制 ↔ 十六进制 | 走二进制：先 ↔ 二进制，再 ↔ 另一边 |
记住「按权展开 + 短除法」这两个最根本的，剩下的 421 / 8421 都是在它们基础上简化而来。
七、易错点清单
- 分组时忘记补 0：从右往左分，不够 3 位（或 4 位）要左侧补 0，不能右侧补。
- 小数部分从左往右分：整数分组从右往左、小数分组从左往右，方向别搞反。
- 十六进制字母写错：(11 = B)、(12 = C)、(13 = D)……不是 (B = 12)。
- 十进制小数转二进制乘 2 取整时忘了停止条件：乘到小数部分变 0 才停，否则位数会无限。
- 短除法算到最后商变 0 但忘了取最后一个余数：最后那个余数 (1)（除以基数前的最后一位）一定要写上。